1.3. Monotonie

Bei der Untersuchung des Funktionsgraphen, der Kurvendikussion, interessiert oft in welchen Intervallen der Grpah steigt bzw. fällt.
Bezüglich der Monotonie eines Funktionsgraphen gelten folgende Definitionen:
Der Graph einer Funktion f und beliebigen x_{1}, x_{2} aus einem offenen Intervall heißt
streng monoton steigend, wenn gilt: f(x_{1}) < f(x_{2}) für x_{1} < x_{2}
monoton steigend, wenn gilt: \qquad \: f(x_{1}) \leq f(x_{2}) für x_{1} < x_{2}
streng monoton fallend, wenn gilt: \: f(x_{1}) > f(x_{2}) für x_{1} < x_{2}
monoton fallend, wenn gilt: \qquad \: \: \: f(x_{1}) \geq f(x_{2}) für x_{1} < x_{2}

Schauen wir uns das Beispiel f(x) = 3x² an.
Nachfolgend ist jeweils der Graph von f (grün) und der Graph von f’ (rot) zu sehen.

Wir wissen, dass die Ableitung einer Funktion die Steigung dieser Funktion beschreibt.
Man sieht in der Abbildung, dass der Graph der Funktion links der y – Achse, also für x < 0, fällt. In diesem Intervall sind die Funktionswerte von f’ negativ, der rote Graph verläuft für negative x – Werte im negativen Bereich.
Ebenso sieht man, dass der Graph von f rechts der y – Achse, also für x > 0, steigt. Entsprechend sind die Funktionswerte des Graphen von f’ für alle x > 0 positiv.
Die Monotonie lässt sich also wie folgt bestimmen:
Ist f eine differenzierbare Funktion und I ein offenes Intervall. Dann gilt:
f'(x) > 0, für alle x \in I , dann ist der Graph von f in I streng monoton steigend.
f'(x) < 0, für alle x \in I , dann ist der Graph von f in I streng monoton fallend.

 

 

Schauen wir uns das Beispiel f(x) = x² + 1 an. Man sieht, dass der Graph dieser Funktion nur in einem bestimmten Intervall fällt bzw. steigt. Da wo der Graph die Richtung ändert befindet sich die Nullstelle der ersten Ableitung (rot). f'(x) = 2x = 0. Es ist also x = 0.
Es gibt nun zwei Möglichkeiten die Art der Monotonie zu bestimmen.
a) Wir benutzen die oben beschriebene Definition: Ist f'(x) > 0, für alle x \in I , dann ist der Graph von f in I streng monoton steigend.
Ist f'(x) < 0, für alle x \in I , dann ist der Graph von f in I streng monoton fallend.
Hierzu suchen wir uns einen Punkt links der Nullstelle und testen. Wähle z. B. x = – 2. f'(-2) = 2•(-2) = -4. Also ist die Funktion im Intervall [-\infty; 0[ streng monoton fallend und im Intervall ]0; \infty] streng monoton steigend.

Übungen
Monotonie 1

Monotonie 2

Monotonie 3