3.5. Orthogonale Geraden

Zu einer Geraden kann man rechnerisch, die dazu orthogonale (senkrechte, rechtwinklige) Gerade bestimmen.

Beispiel:

Gegeben ist der Graph zu f(x) = x + 1. Hierzu orthogonale Geraden haben z. B. die Funktionsvorschrift g(x) = – x + 2 oder h(x) = – x + 1,5. Man erkennt, dass die Steigung der Orthogonalen ein negatives Vorzeichen haben. Der y – Achsenabschnitt ist beliebig gewählt.
Doch wie bestimmt man nun genau die Steigung einer orthogonalen Geraden?
Im folgenden Beispiel ist die Funktion f(x) =  0,5x + 1 gegeben.

Die hierzu orthogonalen Geraden haben die Funktionsvorschrift g(x) = –2x + 1,5 oder h(x) = –2x + 2. Man sieht auch hier, dass der Parameter b beliebig gewählt werden kann. Die Steigung ist der negative Kehrbruch der ursprünglichen Steigung.
Die Steigung von f war mf = . Die Steigung einer hierzu orthogonalen Geraden ist der negative Kehrbruch davon.
Also mg = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -1 : \frac{1}{2} = -2 .
Allgemein gilt: mg = ­ -\frac{1}{m_{f}} bzw. mg • mf = – 1

Somit können wir prüfen, ob zwei Geraden orthogonal zu einander sind.

Beispiel:
Prüfe, ob die Geraden f(x) = – 0,6x + 2 und f(x) = \frac{5}{3}x - 4 zueinander senkrecht sind.
Setze die beiden Steigungen in mg • mf = – 1 ein und überprüfe:
– 0,6 • \frac{5}{3} = -\frac{6}{10} • \frac{5}{3} = -\frac{30}{30} = -1  Somit ist gezeigt, dass die beiden Geraden senkrecht zueinander sind.

Ist eine Gerade gegeben und ein Punkt, durch den eine dazu orthogonale Gerade verlaufen soll, so kann man die Gleichung dieser Geraden rechnerisch bestimmen.

Beispiel:
Gegeben ist eine Gerade mit der Gleichung f(x) = 0,7x + 1. Eine dazu orthogonale Gerade soll durch den Punkt P (2 / –3) verlaufen. Ermittle zunächst die Steigung, mittels mg = -\frac{1}{m_{f}} = -\frac{1}{0,7}  = -\frac{10}{7}  .
Setze nun mg = -\frac{10}{7}  in g(x) = mgx + bg ein.
– 3 = -\frac{10}{7}  • 2 + bg | +  \frac{20}{7} 
bg = -\frac{1}{7} 
Somit ist g(x) = -\frac{10}{7}x - \frac{1}{7} 

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