1.3. Quadratische Funktion

Funktionen des Typs f(x) = ax² + bx + c, mit …, nennt man quadratische Funktionen.
Da ihr höchster Exponent die 2 ist, werden sie auch Funktionen 2. Grades genannt.
Die Parameter a, b und c haben unterschiedliche Auswirkungen auf das Aussehen des Funktionsgraphen.

Wählt man a positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet.
Ist a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.

Ist a größer als 1, so ist die Parabel enger als die Normalparabel (f(x) = 1x²).
Ist a kleiner als 1, so ist die Parabel breiter als die Normalparabel.

Wie sieht die Parabel aus, wenn a negativ und ungleich 1 ist?
Man sieht, dass die obigen Beziehungen ebenfalls gelten, allerdings ist die Parabel jeweils nach unten geöffnet.
Die Weite der Öffnung hängt also vom Betrag von a ab.
Es gilt somit:
|a| > 1: Die Parabel ist enger als die Normalparabel
0 <|a| < 1 : die Parabel ist breiter als die Normalparabel.

Der Parameter c (f(x) = ax² + bx + c) gibt die Verschiebung der Parabel bzgl. der y-Achse an.

Zu den Funktionswerten von f(x) = ax² wird jeweils der Summand c hinzuaddiert, was zur Folge hat, dass die Funktion f(x) = ax² um den Summanden c “hoch- oder runterrutscht”.
Lag der Scheitelpunkt von f(x) = ax² bei S(0/0), so liegt der Scheitelpunkt von f(x) = ax² + c nun bei S(0/c).

Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c muss man in die Scheitelpunktsform bringen, um den Scheitelpunkt ablesen zu können.
Diese lautet: f(x) = a(x – d)² + c. Aus ihr liest man den Scheitelpunkt S(d/c) ab.
Da der Scheitelpunkt in der 12. Klasse mittels Differentialrechnung recht einfach bestimmt werden kann, sei hier auf die Erklärung der quadratischen Ergänzung verzichtet.
Der Parameter b verschiebt die Parabel zusätzlich in horizontaler Richtung.


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Übungen

Zeichnen quadratischer Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung,  wenn der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt gegeben sind

Bestimmung der Funktionsgleichung aus drei gegebenen Punkten

Gemischte Aufgaben 1

Gemischte Aufgaben 2

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