1.2. Tangentensteigung

Mithilfe der Sekantensteigung bestimmt man die Steigung zwischen zwei Punkten einer Kurve.
Mithilfe der Tangentensteigung (lat. tangere = berühren) berechnet man nun die Steigung der Geraden, welche die Kurve in genau einem Punkt tangiert.
Um nun die Steigung in einem Punkt zu bestimmen geht man von der Sekantensteigung aus und lässt den einen Punkt immer näher zu dem Punkt wandern, von welchem die Tangentensteigung berechnet werden soll.
Gegeben ist f(x) = x². Es soll im folgenden Beispiel die Steigung im Punkt B(2/4) bestimmt werden. Der Punkt A nähert sich nun sukzessive an den Punkt B an.

Wir sehen wie sich die Steigung der Sekante bei der schrittweisen Annäherung des Punktes A an den Punkt B ändert.
Letztendlich nähert sich der Punkt A beliebig nah an den Punkt B an.
Allgemein seien die Koordinaten der Punkte A(x_{1} / y_{1}) B(x_{2} / y_{2})
Durch diese Annäherung bzw. Grenzwertbildung wird aus dem Differenzenquotienten m = \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} der Differenzialquotient m = \lim \limits_{x_{1} \to \ x_{2}} \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}}
Für unser Beispiel f(x) = x² gilt:
x_{2} = 4
f(x_{2}) = f(2) = 4
x_{1} = x_{1} Dieser Wert ändert sich, da sich der Punkt A dem Punkt B annähert.
f(x_{1}) = x_{1}²
Nun setzen wir die entsprechenden Werte in den Differenzialquotienten ein:
m = \lim \limits_{x_{1} \to \ 2} \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} = \frac{f(2) - f(x_{1})}{2 - x_{1}} = \frac{4 - x_{1}²}{2 - x_{1}} = \frac{(2 + x_{1}) ( 2 - x_{1})} {2 - x_{1}} Im Zähler haben wir die dritte Binomische Formel angewendet und können nun kürzen.
m = \lim \limits_{x_{1} \to \ 2} = 2 + x_{1} = 2 + 2 = 4 .
Die Steigung der Tangente im Punkt B(2/4) beträgt also 4.