4.1. Vermehrter / verminderter Grundwert

Oft kommt es vor, dass der Grundwert um einen prozentualen Anteil vermehrt oder vermindert wird. Es kommt zu einem Betrag noch die Mehrwertsteuer hinzu oder es wird ein Rabatt gewährt.

Auf 100 € werden noch 19 MwSt draufgeschlagen. Das Produkt kostet dann statt 100 € nun 119 €. Denn 19 % von 100 sind 19 €. Diese werden zu den ursprünglichen 100 € addiert.
Wir können uns aber auch überlegen wie wir durch Multiplikation von 100 auf 119 kommen. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf: 100 • x = 119. Es ergibt sich dann x = 1,19.
Statt 19 % zu berechnen und zu dem Grundwert zu addieren kann man den Grundwert auch mit 1,19 multiplizieren. Diesen Faktor bezeichnet man oft als Wachstumsfaktor q. Er berechnet sich, indem man zu 1 den Quotienten aus dem Prozentsatz und 100 addiert.
q = 1 + \frac{p}{100} .
In unserem Beispiel: q = 1 + \frac{19}{100} = 1,19
Der Prozentwert berechnet sich mit der Formel: W = G • q.

Eine Stadt hatte 40.000 Einwohner. Der Zuwachs pro Jahr beträgt ca. 1,2 %.
G = 40.000 Einwohner, q = 1 + \frac{1,2}{100} = 1,012
W = G • q = 40.000 • 1,012 = 40.480 Einwohner.

Oft wird einem auch ein Rabatt gewährt. Oder man erhält bei Barzahlung einen Nachlass, Skonto genannt. Kostet eine Jacke ehemals 100 €, dann muss man bei einer Rabattaktion von 15 % nur noch 85 € bezahlen. Man berechnet auch hier 15 % von 100 € und subtrahiert die 15 € dann vom ursprünglichen Preis. Auch hier können wir uns überlegen wie man von 100 € auf 85 € kommt. Die Gleichung 85 = 100 • x lösen wir nach x auf und erhalten 0,85. Dies ist unser Wachstumsfaktor q. Wobei man im täglichen Leben bei Wachstum davon ausgeht, dass etwas mehr wird. Mathematisch korrekt sprechen wir hier von negativem Wachstum. Der (negative) Wachstumsfaktor berechnet sich analog mit folgender Formel: q = 1 - \frac{p}{100} .
In unserem Beispiel: q = 1 - \frac{15}{100} = 0,85
.

Ein neuer Computer kostet 999 €. Weil Du sofort bezahlst, bekommst Du 3 % Skonto.
G = 999 €, q = 1 - \frac{3}{100} = 0,97
W = G • q = 999 • 0,97 = 969,03 €

Übung

Übung 1

Übung 2