1.2.3. Polstellen und Lücken

Gebrochenrationale Funktionen haben immer einen Nenner. Da man bekanntlich nicht durch Null dividieren darf, sind alle x-Werte, für die ein Nenner gleich Null ist, aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
Im folgenden Beispiel sind diese x-Werte gesucht.
f(x) = \frac{x³ - 3x² - 4x}{x² - 6x + 8}  
Man bestimmt also die Nullstellen des Nenners. In diesem Fall mithilfe der p – q – Formel und erhält x_{1} = 2  und x_{2} = 4  
Man darf also alle rellen Zahlen bis auf 2 und 4 in die Funktion einsetzen.

Die Definitionsmenge lautet daher: \mathbb{D} = \mathbb{R} \ {2, 4}.
An diesen sogenannten Definitionslücken kann die Funktion ein unterschiedliches Verhalten zeigen, wie eine Polstelle oder eine (hebbare) Lücke.
Schauen wir uns zunächst an, was um den x – Wert 2 passiert. Erstellt man eine Senkrechte, die durch x = 2 verläuft, dann erkennt man, dass sich der Graph nach oben bzw. unten hin dieser Senkrechten immer mehr annähert.

Je näher der Graph dieser Senkrechten kommt, desto größer bzw. kleiner werden die Funktionswerte. Nähern wir uns von “links” an, so streben die Funktionswerte gegen -\infty . Nähern wir uns von “rechts” an die Senkrechte an, so streben die Funktionswerte gegen \infty . An x = 2 selbst gibt es keinen Funktionswert, denn man darf die 2 nicht in die Funktion einsetzen, sonst würde man ja durch 0 dividieren. An der Stelle x = 2 liegt eine Polstelle vor.
Haben die Funktionswerte rechts und links der Polstelle die gleichen Vorzeichen, dann liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor, sonst eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Schauen wir uns nun den Bereich um x = 4 näher an.

Es scheint an der Stelle x = 4 einen Funktionswert zu geben, nämlich y = 10. Würden wir aber f(4) berechnen wollen, so ergäbe sich eine Division durch 0, was ja nicht zulässig ist. Die Funktionswerte streben von beiden Seiten, links und rechts von x = 4 auf die 10 zu. Daher spricht man hier von einer Lücke, die man ”stopfen“ oder beheben kann, indem man einen passenden Funktionswert ergänzt. Der korrekte Fachausdruck hierfür ist hebbare Lücke, oder einfach nur Lücke. Das mag manchmal zu Missverständnissen führen, weil man die Fehlstellen im Definitionsbereich allgemein – also auch die Polstelle – als Definitionslücke bezeichnet.

An einer Definitionslücke kann eine Polstelle oder eine (hebbare) Lücke vorliegen. Wie findet man nun heraus, welches Verhalten die Funktion zeigt?
Dazu untersuchen wir den Zähler an dieser Stelle, indem wir den x-Wert der Definitionslücke in den Zähler einsetzen.
Es gibt nun genau zwei Möglichkeiten. Entweder ist der Zähler dort gleich oder ungleich Null
Ist der Zähler an dieser Stelle ungleich Null, so liegt eine Polstelle an dieser Stelle vor. In unserem Beispiel ist Z(2) \neq 0 . Daher liegt an x = 2 eine Polstelle vor.
Setzen wir x = 4 in den Zähler ein ergibt sich Z(4) = 0 .
Da nun sowohl der Zähler, als auch der Nenner bei x = 4 eine Nullstelle hat, ist es möglich im Zähler und im Nenner (x− x_{1} ) auszuklammern und dadurch den Bruch zu kürzen.
Wir dividieren zunächst den Zähler mittels Polynomdivision durch (x−4).
\: \: \: \: (x³ - 3x² + 4x) : (x - 4) = x² + x
\underline {-(x³ - 4x²)}
\hspace*{1.3cm} (x² - 4x)
\qquad \quad \underline {-(x² - 4x)}
\hspace*{2.3cm} 0
Der Zähler lässt sich daher schreiben als (x² + x) • (x – 4).
Entsprechend führen wir auch die Polynomdivision im Nenner durch.
\: \: \: \: (x² - 6x + 8) : (x - 4) = x - 2

\underline {-(x² - 4x)}
\hspace*{0.9cm} (-2x + 8)
\hspace*{0.7cm} \underline {-(-2x + 8)}
\hspace*{2.1cm} 0
Der Nenner lässt sich also schreiben als (x – 2) • (x – 4).
Die Funktion f(x) = \frac{x³ - 3x² - 4x}{x² - 6x + 8}   kann nun geschrieben werden als f(x) = \frac{(x² + x) • (x - 4)}{(x - 2) • (x - 4)}


Man kann nun durch (x – 4) kürzen und erhält eine neue Funktion g(x) = \frac{(x² + x)}{(x - 2)}  
Wir schauen nun, ob die gekürzte Funktion g(x) einen Funktionswert für die Definitionslücke liefert. Das ist der Fall, wenn der Nenner der neuen Funktion an der zu untersuchenden Stelle ungleich Null ist.
Da eine Lücke durch einen konkreten Funktionsterm geschlossen werden kann, werden wir diesen mithilfe von g(x) berechnen. Es ist g(4) = \frac{(4² + 4)}{(4 - 2)} = 10
Somit liegt eine Lücke bei L(4/10) vor.
Abschließend kann gesagt werden, dass wenn Z(x) \neq 0 und Z(x) = 0 eine Polstelle bei x vorliegt.
Wenn Z(x) \neq 0 und Z(x) \neq 0 , liegt eine Lücke bei x vor.


(Quelle: https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gebrfkt.pdf)