4.1. Unbestimmtes/bestimmtes Integral

Um die Fläche, die der Graph mit der x-Achse in einem Intervall einschließt zu berechnen, nutzt man die Regeln der Integralrechnung.
Hierzu muss man von einer Funktion die sogenannte Stammfunktion bilden. Bei der Integralrechnung handelt es sich um die Umkehrung der Differentialrechnung. Das bedeutet, dass die Ableitung der Stammfunktion gerade die ursprüngliche Funktion ergibt. Die Stammfunktion selbst wird mit F bezeichnet.
Es sei f(x) = x². Die zugehörige Stammfunktion lautet F(x) = \frac{1}{3}x³  . Leitet man F(x) = \frac{1}{3}x³  ab, so ergibt sich F‘(x) = x² = f(x).

Wie findet man nun die Stammfunktion zu einer beliebigen Funktion des Typs f(x) = xn?
Die Stammfunktion findet man durch Anwendung der Potenzregel:
f(x) = xn. Dann ist F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
Beispiel:
f(x) = x4 -> F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^{5}}{5} + C . Die Konstante C ist eine beliebige reelle Zahl. Beim differenzieren ergibt eine Konstante 0 und fällt somit weg.
Für eine Funktion des Typs f(x) = axn gilt ebenfalls die Potenzregel. Der Faktor a bleibt dabei erhalten. Sei f(x) = axn, dann gilt für die Stammfunktion F(x) = a • \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
Beispiel:
f(x) = 2x5 -> F(x) = 2 • \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 2 • \frac{x^{6}}{6} + C = \frac{x^{6}}{3} + C
Es gelten folgende Integrationsregeln:
Potenzregel:      \int_{}^{} x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
Faktorregel:       \int_{}^{} a • f(x) dx = a • \int_{}^{} f(x) dx
Summenregel: \int_{}^{} (f(x) + g(x)) dx = \int_{}^{} f(x) dx + \int_{}^{} g(x) dx       

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
\int_{}^{} f(x) dx = [F(X) ]_a^b = F(b) - F(a)

Der Wert des bestimmten Integrals entspricht dem Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen x-Achse und dem Graphen von f im Intervall [a, b].

Beispiel:
Bestimme den Flächeninhalt den der Graph von
f(x) = 2x² + 2x – 4 mit der
x-Achse im Intervall [1, 3] einschließt.
\int_{1}^{3} (2x² + 2x - 4) dx

= [\frac{2x³}{3} + x² - 4x]_1^3  
= (\frac{2}{3}•3³ + 3² - 4•3) - (\frac{2}{3}•1³ + 1² - 4•1)
= 15 + 2\frac{1}{3} = 17\frac{1}{3} FE

Berechne \int_{-2}^{0} (2x² + 4x - 2)dx

\int_{-2}^{0} (2x² + 4x - 2)dx
= [\frac{2x³}{3} + 2x² - 2x]_ {-2}^0
= (\frac{2}{3}•0³ + 2•0² - 2•0) - (\frac{2}{3}•(-2)³ + 2•(-2)² - 2•(-2))
= 0 - 6\frac{2}{3} = - 6\frac{2}{3} FE

Das Ergebnis ist negativ, da sich die zu berechnende Fläche unterhalb der x-Achse befindet. Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen heißen negativ orientiert, solche oberhalb der x-Achse nennt man positiv orientiert.

Hat die Funktion im zu berechnenden Intervall Nullstellen, so müssen diese berücksichtigt werden. Man integriert von der linken Grenze bis zur Nullstelle, von der Nullstelle bis zur Nullstelle usw. Zuletzt von der Nullstelle bis zur rechten Grenze.

Berechne \int_{-1}^{1} (-x³ + 3x)dx
Bestimme vorab die Nullstellen von f(x) = – x³ + 3x
–x³ + 3x = 0 -> x(–x² + 3) = 0  -> x1 = 0
–x² + 3 = 0 | – 3 
<=> –x² = – 3 | • (-1)
<=> x² = 3 | \sqrt{}
<=> x2/3 = \pm \sqrt{3}
Somit folgt:
\int_{-1}^{1} (-x³ + 3x)dx
= \int_{-1}^{0} (-x³ + 3x)dx + \int_{0}^{1} (-x³ + 3x)dx
= [\frac{-x^4}{4} + \frac{3}{2}x²]_{-1}^0 + [\frac{-x^4}{4} + \frac{3}{2}x²]_0^1
= F(0) – F(-1) + F(1) – F(0)
= (-0,25•0^4 + 1,5•0²) - (-0,25•(-1)^4 + 1,5•(-1)²)
+ (-0,25•1^4 + 1,5•1²) - (-0,25•0^4 + 1,5•0²)
= 0 – 1,25 + 1,25 – 0 = 0 FE

Wie im Graphen zu sehen ist kann die eingefärbte Fläche nicht 0 sein.
Das ist hier der Fall, da der negativ orientierte Flächeninhalt gleich groß wie der positiv orientierte Flächeninhalt ist. Um die Fläche des negativ orientierten Flächeninhalts zu bestimmen bildet man von diesem den Betrag und erhält somit eine positive Zahl.
Hat man nun eine Funktion, bei der die zu bestimmenden Teilflächen ober- und unterhalb der x-Achse liegen müsste man von den unterhalb der x-Achse liegenden Flächen jeweils die Beträge bilden. Da es aber zu aufwendig ist zu prüfen welche Flächen negativ orientiert sind, berechnet man sicherheitshalber von allen Teilflächen den Betrag.
Angewendet auf obiges Beispiel ergibt sich dann:

| \int_{-1}^{1} (-x³ + 3x)dx |
= | \int_{-1}^{0} (-x³ + 3x)dx | + | \int_{0}^{1} (-x³ + 3x)dx |
= | [\frac{-x^4}{4} + \frac{3}{2}x²|_{-1}^0 + |\frac{-x^4}{4} + \frac{3}{2}x²|_0^1
= |F(0) – F(-1)| + |F(1) – F(0)|
= | (-0,25•0^4 + 1,5•0²) - (-0,25•(-1)^4 + 1,5•(-1)²) | + | (-0,25•1^4 + 1,5•1²) - (-0,25•0^4 + 1,5•0²) |
= |0 – 1,25| + |1,25 – 0| = 2,5 FE

Aufgaben


Integralrechung 1

Integralrechnung 2

Integralrechnung 3 (mit Nullstellen)

Textaufgaben

Onlineübung

Klapptest