1.4.2.2. Logarithmengesetze

Aus den Rechengesetzen für Potenzen ergeben sich die folgenden Logarithmengesetze:
a^{m} • a^{n} = a^{m + n}
log_{a}(a^{m}•a^{n}) = log_{a}(a^{m + n}) = m + n


log_{a}(b•c) = log_{a}b + log_{a}c

log_{2}(4•32) = log_{2}4 + log_{2}32
log_{2}(128) = log_{2}4 + log_{2}32
7 = 2 + 4
Der Logarithmus eines Produkt ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}
log_{a}(\frac{a^{m}}{a^{n}}) = log_{a}^{m - n} = m - n


log_{a}(\frac{b}{c}) = log_{a}b - log_{a}c

log_{3}(\frac{81}{3}) = log_{3}81 - log_{3}3
log_{3}27 = log_{3}81 - log_{3}3
3 = 4 – 1
Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor.


a^{{m}^{n}} = a^{m•n}
log_{a}(a^{m})^{n} = log_{a}a^{m • n} = m • n


log_{a}b^{n} = n • log_{a}b

log_{5}25^{4} = 4 • log_{5}25
log_{5}390625 = 4 • log_{5}25
8 = 4 • 2
Der Logarithmus einer Potenz mit der Basis b und dem Exponenten n ist das Produkt aus dem Logarithmus der Basis und dem Exponenten n.

Für manche Taschenrechner braucht man das nächste Logarithmengesetz, nämlich:
log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}

Folgerungen:
log_{a}a^{x} = x
log_{a}1 = log_{a}a^{0} = 0
log_{a}a = log_{a}a^{1} = 1
a^{log_{a}x} = x

Übung

Logarithmus 1

Logarithmus 2

Logarithmus 3

Logarithmus 4

Logarithmus 5