1.4.1. Exponentielles Wachstum

Das typische Beispiel für exponentielles Wachstum ist ein mit Algen bedeckter See.
Ein anfangs 500 m² großer See wird jede Woche durch Baggerarbeiten um 100 m² größer. Zu Beginn der Baggerarbeiten findet man einen Algenteppich mit 1 m² Größe, welcher pro Woche um das doppelte wächst. Wie verhält sich jeweils das Wachstum der See- und der Algenfläche?

WocheFläche des SeesFläche der Algen
0500 m²1 m²
1600 m²2 m²
2700 m²4 m²
3800 m²8 m²
4900 m²16 m²
51000 m²32 m²
61100 m²64 m²
71200 m²128 m²
81300 m²256 m²
91400 m²512 m²
101500 m²1024 m²
111600 m²2048 m²

Man sieht, dass nach spätestens 11 Wochen der ganze See mit Algen bedeckt wäre.
Bei dem Wachstum der Wasserfläche liegt lineares Wachstum vor. Es kann durch die Funktion f(x) = 100x + 500, mit x = Anzahl der Wochen, beschrieben werden.
Bei dem Wachstum der Algenfläche liegt exponentielles Wachstum vor. es kann durch die Funktion f(x) = 2^{x} , mit x = Anzahl der Wochen, beschrieben werden.

Man sieht, dass die Seefläche gleichmäßig ansteigt, hier liegt lineares Wachstum vor – der zugehörige Graph ist eine Gerade.
Die Fläche der Algen steigt anfangs sehr langsam und ab einem gewissen Zeitpunkt recht schnell. Jedesmal wenn x um 1 wächst, verdoppelt sich der Funktionswert. Hier liegt exponentielles Wachstum vor.

Lineares Wachstum: Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Zunahme um den gleichen Betrag.
Exponentielles Wachstum: Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Vervielfachung mit dem gleichen Faktor, dem Wachstumsfaktor
.

Berechnung des Wachstumfaktors

Aus einer prozentualen Wachstumsrate kann man den Wachstumsfaktor berechnen.
Zu einem Wachstum von +p% gehört der Wachstumfaktor
q=1+\frac{p}{100}  
Zu einer Abnahme von -p% gehört der Wachstumfaktor q=1-\frac{p}{100}
Als Faustregel für die Verdopplungszahl kann man die Formel p • n \approx 70 , mit n = Anzahl der Perioden, verwenden. Diese Faustregel gilt allerdings nur bei kleinen Prozentsätzen bis ca. 12%.


Eine Bakterienkultur wächst pro Woche um 8 %.
Berechne zunächst den Wachstumsfaktor q. q=1+\frac{8}{100} = 1,08
Die zugehörige Funktionsvorschrift lautet f(x) = 1,08^{x}

Ein radioaktives Element hat eine Halbwertszeit von 25 Tagen.
Berechne zunächst den Wachstumsfaktor q. q=1-\frac{50}{100} = 0,5
Die zugehörige Funktionsvorschrift lautet f(x) = 0,5^{x} , wobei x ein Vielfaches von 25 Tagen entspricht.

Übung

Lineares / exponentielles Wachstum 1

Lineares / exponentielles Wachstum 2

Lineares / exponentielles Wachstum 3

Exponentielles Wachstum