1.6. Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion ordnet die Variablem umgekehrt zu. Das heißt, dass der x – Wert und der y – Wert vertauscht werden.
Das ist allerdings nur dann möglich, wenn es für jeden Funktionswert f(x) bzw. y genau einen x – Wert gibt. Man sagt auch, die umkehrbare, der Fachbegriff lautet invertierbare, Funktion muss eineindeutig sein.
Die Umkehrfunktion erkennt man an der Schreibweise f ^{-1} .
Es gilt: f ^{-1}(y) = x

Die Logarihmus- und die natürliche Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen voneinander.

Graphische Bestimmung der Umkehrfunktion

Graphisch bildet man die Umkehrfunktion, indem man den Graphen einer Funktion an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt.

Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion

Zur rechnerischen Bestimmung der Umkehrfunktion löst man die Funktion nach x auf und vertauscht dann x und y.
Im obigen Beispiel ist f(x) = y = 3x + 1.
Löse zunächst nach x auf.
y = 3x + 1 | – 1
y – 1 = 3x | : 3
\frac{y - 1}{3} = \frac{y}{3} - \frac{1}{3} = x
Tausche x und y
\frac{x}{3} - \frac{1}{3} = y = f^{-1}
Da f ^{-1}(y) = x , kann man die Probe machen, indem man f in die Umkehrfunktion einsetzt. Hat man die Umkehrfunktion richtig gebildet, sollte x rauskommen.
Schreibe zunächst \frac{x}{3} - \frac{1}{3} = f^{-1} als \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} = f^{-1}
Setze hier für x die ursprüngliche Funktion 3x + 1 ein:
\frac{1}{3} \cdot (3x + 1) - \frac{1}{3} = x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = x
Also ist die Umkehrfunktion richtig gebildet.


Schauen wir uns ein etwas schwierigeres Beispiel an: f(x) = 5x² + 7
Löse zunächst nach x auf
y = 5x² + 7 | – 7
y – 7 = 5x² | : 5
\frac{y}{5} - \frac{7}{5} = x² | Wurzelziehen
\sqrt{\frac{y}{5} - \frac{7}{5}} = x
Tausche x und y
\sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}} = y = f^{-1}

Machen wir die Probe und setzen die ursprüngliche Funktion in die Umkehrfunktion ein.
\sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5} x - \frac{7}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot (5x² + 7) - \frac{7}{5}} = \sqrt{x² + \frac{7}{5} - \frac{7}{5}} = x

Übung
Umkehrfunktion 1

Umkehrfunktion 2

Umkehrfunktion 3