2.9. Wendepunkte

Ebenso wie bei ganzrationalen Funktionen bestimmt man die Nullstelle der zweiten Ableitung, um die Wendestelle zu erhalten.

Untersuchen wir die Funktion f(x) = \frac{3x² - 8x}{(x - 2)²} auf Wendepunkte.
Um die erste Ableitung zu bestimmen wendet man die Quotientenregel an.
Es ist u = 3x² – 8x und u’ = 6x – 8. Und v = (x – 2)². Um die Ableitung von v zu bestimmen, muss man die Kettenregel anwenden. Die innere Funktion soll mit i = x – 2 und die äußere Funktion mit i² bezeichnet werden. Somit ist i’ = 1 und a’ = 2i. Mit der Kettenregel ist nun v’ = a’ • i’ = 2 • (x – 2) • 1
Dies setzt man in f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v²} ein und erhält f'(x) = \frac{(6x - 8) \cdot (x - 2)² - (3x² - 8x) \cdot 2 \cdot (x - 2)}{((x - 2)²)²} = f'(x) = \frac{(6x - 8) \cdot (x - 2)² - (3x² - 8x) \cdot 2 \cdot (x - 2)}{(x - 2)^{4}}
Man kürzt mit (x – 2) und erhält f'(x) = \frac{(6x - 8) \cdot (x - 2) - (3x² - 8x) \cdot 2}{(x - 2)^{3}} = \frac{6x² - 12x - 8x + 16 - (6x² - 16x)}{(x - 2)^{3}} = \frac{6x² - 20x + 16 - 6x² + 16x} {(x - 2)^{3}} = \frac{-4x + 16}{(x - 2)^{3}}
Um die zweite Ableitung zu bestimmen wendet man erneut die Quotientenregel an.
u = -4x + 16; u’ = -4 und v = (x – 2)³; i = x – 2; i’ = 1; a = i³; a’ = 3i² somit ist v’ = a' \cdot i' = 2 \cdot (x - 2)² \cdot 1
f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v²} = \frac{-4 \cdot (x - 2)³ - (-4x + 16) \cdot 3 \cdot (x - 2)²}{((x - 2)³)^{2}} = \frac{-4 \cdot (x - 2)³ - (-4x + 16) \cdot 3 \cdot (x - 2)²}{(x - 2)^{5}}
Man kürzt mit (x – 2)² und erhält \frac{-4 \cdot (x - 2) - (-4x + 16) \cdot 3 }{(x - 2)^{3}} = \frac{4x - 8 - (-12x + 48)}{(x - 2)³} = \frac{8x - 40}{(x - 2)³}
Nun bestimmt an die Nullstelle der zweiten Ableitung, indem man den Zähler gleich 0 setzt.
8x – 40 = 0; x = 5.
Um die y – Koordinate des Wendepunktes zu erhalten, bestimmt man den Funktionswert an der Stelle 5.

f(5) = \frac{3 \cdot 5² - 8 \cdot 5}{(5 - 2)²} = \frac{35}{9}
WP(5/ \frac{35}{9})

Übung

Wendepunkte 1

Wendepunkte 2