2.7. Pascalsches Dreieck

Die drei Binomischen Formeln kennst du bereits:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b²

Was aber ergibt z. B. (a + b)^{5} ? Gibt es dafür auch eine Lösungsformel?
Schreiben wir (a + b)^{5} mal als Potenz: (a + b) • (a + b) • (a + b) • (a + b) • (a + b).
Die Lösung ist berechenbar, jedoch recht mühsam.
Mithilfe des Pascalschen Dreiecks, benannt nach dem französischen Mathematiker
Blaise Pascal, kann man recht schnell die Lösung bestimmen.
Es gilt

Man erkennt, dass außen immer die 1 steht. Die anderen Zahlen, Koeffizienten
genannt, bildet man, indem man die Summe der „rechts“ und „links“ darüber
stehenden Zahlen bestimmt. Allerdings erst ab (a + b)².

Doch wie berechnet man die Exponenten?
Man sieht, dass links außen 1a den Exponenten der Binomischen Formel erhält.
Rechts außen verhält es sich mit 1b analog. → Bei (a + b)³ steht 1a³ bzw. 1b³.
Hinter den übrigen Koeffizienten steht jeweils ab. Von links nach rechts wird der
Exponent bei a um 1 erniedrigt und bei b um 1 erhöht.
(a + b)³ = 1a³ + 3 a ^{3-1} b ^{0+1} + 3a ^{2-1} b ^{1+1} + 1b³
= 1a³ + 3 a² b
1

• 3 a1
  b² + 1b³
  Die allgemeine Formel lautet:
  (a + b)n = ∑ (
  n
  k
  )
  n
  k=0
  a
  k
• b
  n – k
  Um diese zu verstehen müssten wir jetzt aber anschauen was das Zeichen Σ
  bedeutet und wie man sogenannten Binomialkoeffizienten (
  n
  k
  ) berechnet