8.4. Mehrstufige Zufallsexperimente

Bei einigen Gewinnspielen ist eine Kombination mehrerer Zufallsexperimente nötig, um zu gewinnen.
Zum Beispiel müsste man beim Glücksrad zuerst die Farbe grün und beim zweiten Mal drehen noch die Farbe rot drehen. Jedes einzelne Drehen ist ein eigenes Zufallsexperiment.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. In einer Urne befinden sich 3 rote und 4 grüne Kugeln. Nach jedem Ziehen werden die Kugeln zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine rote und eine grüne Kugel zieht?
Das bestimmt man mithilfe eines Baumdiagramms.

Jeder Pfad des Baumdiagramms führt zu einem möglichen Ergebnis.
Die Pfadregel besagt, dass man zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (z. B. P(r,g)) die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert. Das ist die sogenannte Produktregel.
Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine rote und eine grüne Kugel zieht berechnet man wie folgt:
P(r,g) = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} = \frac{12}{49} \approx 24,5 %

Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen?
Zei gleichfarbige Kugeln können entweder (r,r) oder (g,g) sein. Um die Wahrscheinlichkeit von zwei gleichfarbigen Kugeln zu berechnen muss man die Wahrscheinlichkeit von (r,r) und die von (g,g) addieren.
P(zwei gleichfarbige Kugeln) = P(r,r) + P(g,g) = \frac{9}{49} + \frac{16}{49} = \frac{25}{49}
Die Pfadregel besagt, dass man zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (z. B. P(nur gerade Zahlen würfeln)) die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören, addiert. Das ist die sogenannte Summenregel.

Übung

Übung 1
Übung 2