2. Ungleichungen

Mit Ungleichungen kann fast genauso gerechnet werden, wie mit Gleichungen. Problematisch wird es beim Multiplizieren und beim Dividieren mit einer negativen Zahl. Zu beachten ist:

Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt sich das Ungleichungszeichen um.

−2x < 4
Hier muss man auf beiden Seiten durch −2 dividieren.
Also kehrt sich das Ungleichungszeichen um: x > −2
x − 4 ≤ −3
Wir multiplizieren mit −4, also wird aus dem ≤ ein ≥
x ≥ 12

Der Unterschied zu Gleichungen besteht darin, dass Ungleichungen mehrere Lösungen haben. Die Lösung besteht also aus einer Menge mit mehr als einem Element, der sogenannten Lösungsmenge.
In die Gleichung 4x + 3 = 19 kann nur die Zahl 4 für x eingesetzt, damit eine wahre Aussage besteht.
In die Ungleichung 5x + 2 > 22 können alle Zahlen für x eingesetzt werden, die „echt“ größer als 4 sind. Machen wir die Probe: x = 5 –>  5 • 5 + 2 = 27; x = 6 –> 5 • 6 + 2 = 32 usw.
Was ist der Unterschied zwischen > und  bzw. < und ?
> bedeutet größer. Z. B. ist 5 > 4.
\geq bedeutet größer oder gleich. Z. B. ist 7 \geq  7, denn 7 ist auch gleich 7
< bedeutet kleiner. Z. B. ist 10 < 13
\leq bedeutet kleiner oder gleich. Z. B. ist 24 \leq 26, denn 24 ist kleiner 26.

Doch wann ist eine Zahl eigentlich größer bzw. kleiner als eine andere Zahl?
Eine Zahl ist dann größer als eine andere Zahl, wenn sie auf dem Zahlenstrahl weiter rechts steht:
5 > 3; 7 > – 4; –3 > – 6 –> denn – 3 steht weiter rechts auf dem Zahlenstrahl als – 6.

In die Ungleichung 5x + 2 > 22 können alle Zahlen, die größer als 4 sind, eingesetzt werden.
In die Ungleichung 5x + 2  22 kann die Zahl 4 selbst, und alle größeren Zahlen als 4 eingesetzt werden.

Bei der Angabe der Lösungsmenge muss man beachten, in welcher Grundmenge die Ungleichung zu lösen ist.
Die Ungleichung 70 < 14x soll in der Grundmenge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} (1; 2; 3; 4; 5; 6 ……) gelöst werden.
70 < 14x | : 14
5 < x bzw. x > 5
Es können also alle natürlichen Zahlen eingesetzt werden, die größer als 5 sind. Die Lösungsmenge sieht daher wie folgt aus: \mathbb{L} = {6, 7, 8, …. }
Soll die gleiche Ungleichung 70 < 14x in der Grundmenge der rationalen Zahlen \mathbb{Q} (ganze Zahlen (– 12; –7; 0; 5; 102; ….) und Bruchzahlen) gelöst werden, dann ergibt sich eine andere Lösungsmenge.
70 < 14x | : 14
5 < x bzw. x > 5
Es können alle rationalen Zahlen eingesetzt werden, die größer als 5 sind. Die Lösungsmenge sieht daher wie folgt aus:
\mathbb{L} = { x | x > 5}

 

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