3.1. Einfache Gleichungen

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch das Gleichheitszeichen verbunden sind. Was heißt das jetzt genau?
Beispiel:
Term 1: \color{green} x + 2 ; Term 2: \color{red} 5 . Wenn man nun beide Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet folgt: \color{green} x + 2 \color{black} = \color{red} 5

Jetzt stellt sich die Frage welche Zahl man für x einsetzen kann, so dass der Term auf der linken Seite und der Term auf der rechten Seite der Gleichung den gleichen Wert haben.
Setze für x die Zahl 3 ein: 3 + 2 = 5. Berechnet man den Wert des Terms auf der linken Seite, so folgt: 5 = 5. Das ist eine wahre Aussage.
Doch wie findet man die richtige Zahl für x?
Nehmen wir noch einmal das leichte Beispiel von eben. Das Ziel ist, dass bei der Variablen keine Zahl mehr dabeisteht. Das erreicht man, indem man auf beiden Seiten der Gleichung 2 subtrahiert:
x + 2 = 5 | \color{red} – 2
x + 2 \color{red} – 2 = 5 \color{red} – 2
x = 3. Die gesuchte Zahl lautet somit 3.
Da es natürlich vorkommen kann, dass man sich verrechnen kann, macht man nach jeder gelösten Gleichung die Probe. Hierzu setzt man anstelle des x die gefundene Zahl ein.
Die Probe obiger Gleichung lautet also:
3 + 2 = 5
5 = 5
Da die linke Seite den gleichen Wert wie die rechte Seite der Gleichung hat erhält man eine wahre Aussage. Das heißt, dass 3 die Zahl ist, welche man einsetzen muss, damit die Gleichung „aufgeht.
Bei der Gleichung 5x = 10 ist darauf zu achten, dass der Malpunkt weggelassen wurde. Eigentlich müsste man schreiben 5 \cdot x = 10 . Wie findet man hier den Wert für x?
Im obigen Beispiel haben wir gesehen, dass bei der Umformung aus dem Plus ein Minus wird. Allgemein kann man sich folgende Regel merken.


Man muss immer die gegenteilige Rechenoperation anwenden zu der Operation, mit welcher der Teilterm mit dem Rest verbunden ist.

Angewendet auf unser Beispiel ergibt das folgende Umformung.
5x = 10 | \color{red} : 5 \Rightarrow weil die 5 durch einen Malpunkt mit dem x verbunden ist
\frac{5x}{\color{red}5} = \frac{10}{\color{red}5}
x = 2
Wir setzen zur Probe die 2 in die Gleichung ein: 5 \cdot 2 = 10 . Das ist eine wahre Aussage
Bei Gleichungen muss man sehr auf die Vorzeichen achten. Für die Gleichung
–4x = – 20 ergibt sich folgende Umformung.
–4x = – 20 | \color{red}: –4
\frac{-4x}{\color{red}-4} = \frac{20}{\color{red}-4}
x = 5
Probe: -4 \cdot 5 = -20 . Das ist eine wahre Aussage.


Da 3 + 5 = 8 gleichwertig ist mit 8 = 3 + 5 spielt es keine Rolle auf welcher Seite der Gleichung das x steht.
16 = x – 5 | + 5
16 + 5 = x – 5 + 5
21 = x
Probe: 16 = 21 – 5. Das ist eine wahre Aussage

Ein Spezialfall ist der folgende Typ von Gleichungen. 2x = 2x. Wir versuchen auch hier, dass x alleine steht.
2x = 2x | : 2
x = x

Was bedeutet das?
x = x ist auf jeden Fall eine wahre Aussage. Das heißt, dass egal welche Zahl man für x einsetzt, sich immer eine wahre Aussage ergibt.

Übungen
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