4.2. Allgemeine Dreiecke
In allgemeinen Dreiecken kann man die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens meist nicht anwenden.
In jedem Dreieck verhalten sich zwei Seitenlängen wie die Sinuswerte der Gegenwinkel.
\frac{a}{b} = \frac{sin \alpha}{sin \beta}
\frac{a}{c} = \frac{sin \alpha}{sin \gamma}
\frac{b}{c} = \frac{sin \beta}{sin \gamma}
Diese Beziehungen werden als Sinussatz bezeichnet.
Der Sinussatz wird angewendet, wenn 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.
Ist z. B. a = 6 cm; \alpha = 36°; \beta = 100° . Die Seite b, sowie der Winkel \gamma sind gesucht.
\frac{a}{b} = \frac{sin \alpha}{sin \beta} | • b
a = b \ • \ \frac{sin \alpha}{sin \beta} | : \frac{sin \alpha}{sin \beta} bzw | • \frac{sin \beta}{sin \alpha}
b = a \ • \ \frac{sin \beta}{sin \alpha} = 6 \ • \ \frac{sin \ 100°}{sin \ 36°} = 10,05 cm
\gamma = 180° – 36° – 100° = 44°
Sind 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben, dann wendet man den Kosinussatz an.
a² = b² + c² – 2bc • cos \alpha
b² = a² + c² – 2ac • cos \beta
c² = a² + b² – 2ab • cos \gamma
„Steht a vorne, dann steht alpha beim Kosinus“
Ist z. B. \gamma = 30° , b = 6,5 cm, a = 5 cm. Die Seite c, sowie die Winkel \alpha \ und \ \beta sind gesucht.
c² = a² + b² - 2ab • cos \gamma | \sqrt{}
c = \sqrt{a² + b² - 2ab • cos \gamma}
c = \sqrt{5² + 6,5² - 2•5•6,5 • cos 30°} = 3,31 cm
Den Winkel \alpha berechnen wir ebenfalls mithilfe des Kosinussatzes.
a² = b² + c² - 2bc • cos \alpha | – b²
a² - b² = c² - 2bc • cos \alpha | – c²
a² - b² - c² = 2bc • cos \alpha | : 2bc
\frac{a²-b²-c²}{2bc} = cos \alpha | cos ^{-1}
cos ^{-1} (\frac{a²-b²-c²}{2bc}) = \alpha
\alpha = cos ^{-1} (\frac{5²-6,5²-3,31²}{2•6,5•3,31}) =
Den Winkel \beta berechnen wir über die Winkelsumme
\beta = 180° - 30° - =
Übung
