4.2.2. Zinseszinsen
Oft interessiert es wie sich ein Anfangswert bei gleichbleibender Verzinsung im Laufe der Zeit verändert.
Angenommen man legt 1000 € mit einer jährlichen Verzinsung von 2 % an. Auf welchen Betrag ist der Anfangswert nach 3 Jahren gewachsen?
Berechnen wir zunächst den Wert nach 1 Jahr
K_{1} = 1000 \cdot 1,02 = 1020 €
Nun berechnen wir den Wert nach 2 Jahren
K_{2} = 1020 \cdot 1,02 = 1040,40 €
Als letztes berechnen wir den Wert nach dem 3. Jahr
K_{3} = 1040,4 \cdot 1,02 = 1061,21 €
Angenommen man wollte berechnen auf welchen Betrag der Anfangswert nach 50 Jahren gewachsen ist, dann hätte man ziemlich viele einzelne Rechnungen zu vollziehen. Daher schauen wir uns mal an wie man die einzelnen Werte aus dem vorigen Beispiel noch berechnen könnte.
Da man den Wert K_{1} in die Formel, um das zweite Jahr zu berechnen einsetzt, ergibt sich für K_{2} :
K_{2} = \textcolor{red}{K_{1}} \cdot 1,02 , da \textcolor{red}{K_{1} = K_{0} \cdot 1,02} , kann man dies einsetzen und erhält
K_{2} = \textcolor{red}{K_{0} \cdot 1,02} \cdot 1,02 = K_{0} \cdot 1,02^{2}
Um das dritte Jahr zu berechnen, multiplizieren wir den Wert des zweiten Jahres mit 1,02 und erhalten
K_{3} = K_{2} \cdot 1,02 = K_{0} \cdot 1,02 \cdot 1,02 \cdot 1,02 = K_{0} \cdot 1,02^{3}
Auf diese Weise können wir den Wert nach 50 Jahren ganz schnell berechnen. Die Formel lautet dann
K_{50} = K_{0} \cdot 1,02^{50}
Die Zinseszinsformel lautet allgemein
K_{n} = K_{0} \cdot q^{n} oder K_{n} = K_{0} \cdot (1+\frac{p}{100})^{n}
Mit K_{0} entspricht dem Anfangswert; K_{n} entspricht dem Endwert nach n Zeiteinheiten;
n entspricht den Zeiteinheiten und p ist der Wachstumsfaktor.
Ist der Anfangswert gesucht, so muss man die Zinseszinsformel nach K_{0} auflösen.
K_{n} = K_{0} \cdot q^{n} | : q^{n}
K_{0} = K_{n} : q^{n}