1.3. Binomische Formeln
Bestimmte Produkte tauchen in der Mathematik recht häufig auf. Wenn man sich
deren Ergebnis merkt, kann man diese Produkte dann recht schnell berechnen.
In dem Wort binomisch stecken die zwei Worte bi (zwei) und Nomen (Namen) drin.
Erste binomische Formel
Das Produkt (a + b) • (a + b) = a • a + a • b + b • a + b • b = a² + 2ab + b² wird erste binomische Formel genannt.
Es gilt (a + b)² = a² + 2ab + b²
(2a + 4)² = (2a)² + 2 • 2a • 4 + 4² = 4a² + 16a + 16
Hier ist zu beachten, dass (2a)² = 2a • 2a = 2 • 2 • a • a = 4a² ergibt.
(–5x + 7ab)² = (–5x)² + 2 • (–5x) • 7ab + (7ab)² = 25x² – 70abx + 49a²b²
Zweite Binomische Formel
Das Produkt (a – b) • (a – b) = a • a – a • b – b • a + b • b = a² – 2ab + b² wird zweite binomische Formel genannt.
Es gilt (a – b)² = a² – 2ab + b²
Dritte Binomische Formel
Das Produkt (a + b) • (a – b) = a • a + a • b – b • a – b • b = a² – b² wird zweite binomische Formel genannt.
Es gilt (a + b) • (a – b) = a² – b²
Auch (2 + x) • (x – 2) ist die dritte binomische Formel. Denn aus (2 + x) • (x – 2) wird
(x + 2) • (x 2)
Faktorisieren mit binomischen Formeln
Wenn man Summenterme in Produkte umwandeln, sie faktorisieren möchte, sind die binomischen Formeln hilfreich.
a² + 8a + 16 = a² + 2 • 4 • a + 4² = (a + 4)²
b² – 10b + 25 = b² – 2 • 5 • b + 5² = (b – 5)²
x² – 49 = x² – 7² = (x + 7) • (x – 7)
Man sieht, dass bei der ersten und zweiten binomischen Formel der mittlere Summand dem Doppelten aus a und b entspricht.
8a = 2 • 4 • a → a = a; b = 4
10b = 2 • b • 5 → a = b; b = 5
Übung
