3.2. Schwierigere Gleichungen
Die Regel „Man muss immer die gegenteilige Rechenoperation anwenden zu der Operation, mit welcher der Teilterm mit dem Rest verbunden ist.“ kann man auch auf längere Gleichungen anwenden.
Beispiel:
3x + 4 = x – 6 | – 4
3x + 4 – 4 = x – 6 – 4
3x = x – 10 | – x
3x – x = x – x – 10
2x = – 10 | : 2
2x : 2 = – 10 : 2
x = – 5. Die gesuchte Zahl ist –5, denn 3 \cdot (-5) + 4 = -5 - 6 . Ausgerechnet ergibt sich – 11 = – 11, was eine wahre Aussage ist.
Hier stellt sich ganz zu Beginn die Frage wie man sortieren soll. Auf welcher Seite also das x am Schluss stehen soll. Wir haben bereits gesehen, dass das keine Rolle spielt. Wichtig ist nur, dass man das x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringt.
In einer Gleichung können auch Klammern vorkommen. Diese muss man, wie man es bei den Termen gelernt hat, erst mal auflösen. Dann kann man wie gewohnt weiterrechnen.
2(x + 3) − 3(x + 5) = x + 7 | Klammern auflösen
2 · x + 2 · 3 − 3 · x − 3 · 5 = x + 7 | zusammenfassen
2x + 6 − 3x − 15 = x + 7 | zusammenfassen −x − 9 = x + 7
Nun überlegen wir uns auf welcher Seite x bzw. die Zahlen stehen sollen und sortieren.
−x − 9 = x + 7 | + 9
−x − 9 + 9 = x + 7 + 9
– x = x + 16 | – x
−x – x = x + 16 − x
−2x = 16 | : (– 2)
x = – 8
Probe:
2(–8+ 3) − 3(–8+ 5) = –8+ 7
Da wir hier nur Zahlen haben, die man miteinander verrechnen kann, löst man die Klammer nicht wie bei den Termen auf, sondern berechnet zuerst den Term in der Klammer und multipliziert dann dieses Ergebnis mit der Zahl vor der Klammer.
2 • (– 5) – 3 • (– 3) = – 1
– 10 + 9 = – 1. Das ist eine wahre Aussage!
Gleichungen mit Klammern
Am Beispiel der Gleichung
6x + 5 − (2x − 3) − 2 = 4 · (2x − 2) + x
wollen wir das Lösungsprinzip umfangreicherer linearer Gleichungen darstellen.
Die erste Frage, die man sich immer stellen muss:
Kann man vor dem Umstellen der Gleichung etwas zusammenfassen?
Zur Beantwortung dieser Frage schaut man immer nach zweierlei in dieser Reihenfolge:
- Gibt es Klammern, die aufgelöst werden können?
- Gibt es gleichartige Terme, die zusammengefasst werden können?
Es gibt hier beides, Klammern und gleichartige Terme. Klammern sind auf beiden Seiten je eine, und es kann auf der linken Seite die +5 und die −2 zusammengefasst werden. Am besten löst man erst die Klammern auf.
Dabei immer beachten: Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, dann drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um.
6x + 5 − (2x − 3) – 2 = 4 · (2x − 2) + x | Zusammenfassen und Klammern auflösen
6x + 5 − 2x + 3 − 2 = 8x − 8 + x
Nun kann man gleichartige Terme zusammenfassen wie +6x und −2x oder +5, +3 und −2 auf der linken Seite sowie +8x und +x auf der rechten Seite. Nach dem Zusammenfassen erhält man:
4x + 6 = 9x – 8
Danach gehts wie gewohnt weiter und man erhält als Lösung x = 2,8
Übung
Gleichungen 1
Gleichungen 2
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